Тензорное поле

Тензорное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие тензор.

Определение

Формально тензорное поле можно определить несколькими способами.

Определение через понятие структуры на многообразии

Используя основное понятие дифференциальной геометрии — структура на многообразии, — можно дать следующее определение:

Пусть [math]\displaystyle{ V=\R^n }[/math], [math]\displaystyle{ V^*=\mathrm{Hom}\,(V,\;\R) }[/math] и [math]\displaystyle{ V^p_q=((\overset{p}{\otimes}V))\otimes((\overset{q}{\otimes} V^*)) }[/math] — пространство тензоров типа [math]\displaystyle{ (p,\;q) }[/math] с естественным тензорным представлением группы [math]\displaystyle{ GL^1(n)=GL(n) }[/math], тогда структура типа [math]\displaystyle{ V^p_q }[/math] является линейной структурой первого порядка и называется тензорным полем (или тензорной структурой) типа [math]\displaystyle{ (p,\;q) }[/math].

Определение через понятие тензорного расслоения

При определении тензорного поля можно отталкиваться от понятия тензорного расслоения.

Тензорное поле — это сечение тензорного расслоения [math]\displaystyle{ T^{p,\;q}(M) }[/math] на дифференцируемом многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math], изоморфного в общем случае тензорному произведению касательных и кокасательных расслоений

[math]\displaystyle{ T^{p,\;q}(M)\cong\overset{p}{\otimes}T(M)\otimes\overset{q}{\otimes}T(M)^*. }[/math]

Нестрогое определение

Менее формально тензорное поле можно рассматривать как отображение, которое каждой точке рассматриваемого многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math] ставит в соответствие тензор постоянной валентности.

Область применения

Понятие тензорного поля естественным образом возникает в механике и физике сплошных сред при описании анизотропных сред. Понятие тензорного поля находит применение во всех прикладных науках, где такие среды рассматриваются и изучаются. Оно входит в математический аппарат общей и специальной теории относительности.

Расширенное тензорное поле

Понятие расширенного тензорного поля возникает в результате расширения понятия тензорного поля в изложенном выше смысле.

Нестрогое определение

Проще всего понимать такое расширение исходя из нестрогого определения, согласно которому тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке [math]\displaystyle{ \displaystyle x }[/math] многообразия [math]\displaystyle{ \displaystyle M }[/math] некоторый тензор фиксированной валентности [math]\displaystyle{ \displaystyle (p,q) }[/math], отнесенный к этой точке [math]\displaystyle{ \displaystyle x }[/math]. Пусть теперь [math]\displaystyle{ \displaystyle\tilde M }[/math] — некоторое другое многообразие, являющееся линейным расслоением над [math]\displaystyle{ \displaystyle M }[/math], и пусть [math]\displaystyle{ \displaystyle\pi:\tilde M\to M }[/math] — каноническая проекция для такого расслоения. Тогда расширенное тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке [math]\displaystyle{ \displaystyle y }[/math] многообразия [math]\displaystyle{ \displaystyle\tilde M }[/math] некоторый тензор фиксированной валентности [math]\displaystyle{ \displaystyle (p,q) }[/math] на [math]\displaystyle{ \displaystyle\tilde M }[/math], отнесенный к точке [math]\displaystyle{ \displaystyle x=\pi(y) }[/math].

Литература

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1965. — Т. 5. — С. 333. — 1060 с.
• Рашевский, П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — 3-е изд. — М.: Наука, 1967. — 664 с.